【力学】弦の振動【振動・波動】
【力学】弦の振動【振動・波動】
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■はじめに
■固有モード
$x$軸方向に長さ$L$を持つ弦の振動を考える。 縦方向の座標を$y$、弦の張力及び単位長さ当たりの密度をそれぞれ$\tau$および$\rho$とすれば、弦の波動方程式は \begin{align} \rho \frac{\pd^2 y}{\pd t^2} = \tau \frac{\pd^2 y}{\pd x^2} \end{align} と表せる。 両端$x=0,L$で$y=0$となるように固定されている場合、この式の解は \begin{align} y=A_n \cos(\omega_n t-\theta_{n0}) \sin{kx} \end{align} とおける。$A_n$は振幅、$\omega_n$は角振動数、$\theta_{n0}$は初期位相、$k$は波数で \begin{align} k=\frac{n\pi}{L} \end{align} を満たす。 整数$n=1,2,3,...$はモード数と呼ばれる。
弦を伝わる波の速さを$v$とすると、波数は振動数$\nu$と \begin{align} \nu = \frac{2\pi v}{k}=\frac{vn}{2L} \end{align} の関係にある。 また、$v$は弦の張力$\tau$と密度$\rho$を使って \begin{align} v=\sqrt {\frac{\tau}{\rho}} \end{align} と書かれるため、振動数は \begin{align} \nu = \frac{n}{2L}\sqrt {\frac{\tau}{\rho}} \end{align} とも表せる。
我々の耳には、振動数が大きいほど高い音に聞こえるため、弦を張る強さ（$\tau$）を変えたり、弦の長さ（$L$）を変えたりすることで$\nu$の値を変え、音程を調節することができる。 ギターの弦は、下の方の弦ほど密度が小さく、節が多いほど高い音に対応するが、そのことを意識しながら、例えば以下のアーティストSteven Shapiroさんの動画を観てみるとより面白いんじゃないかなと思う。
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