【力学】弦の振動【振動・波動】

【力学】弦の振動【振動・波動】

物理・数学ノート > 力学

■はじめに

ここでは、弦の振動について解説する。現在このページでは、他の項目の解説に必要な内容しか記述していないが、今後より詳細な内容を扱うよう修正する。

Contents ▶固有モード
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▶参考文献

■固有モード

$x$軸方向に長さ$L$を持つ弦の振動を考える。 縦方向の座標を$y$、弦の張力及び単位長さ当たりの密度をそれぞれ$\tau$および$\rho$とすれば、弦の波動方程式は $$\begin{align} \rho \frac{\pd^2 y}{\pd t^2} = \tau \frac{\pd^2 y}{\pd x^2} \end{align}$$ と表せる。 両端$x=0,L$で$y=0$となるように固定されている場合、この式の解は $$\begin{align} y=A_n \cos(\omega_n t-\theta_{n0}) \sin{kx} \end{align}$$ とおける。$A_n$は振幅、$\omega_n$は角振動数、$\theta_{n0}$は初期位相、$k$は波数で $$\begin{align} k=\frac{n\pi}{L} \end{align}$$ を満たす。 整数$n=1,2,3,...$はモード数と呼ばれる。

音と音楽の科学 /技術評論社/岩宮眞一郎

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弦を伝わる波の速さを$v$とすると、波数は振動数$\nu$と $$\begin{align} \nu = \frac{2\pi v}{k}=\frac{vn}{2L} \end{align}$$ の関係にある。 また、$v$は弦の張力$\tau$と密度$\rho$を使って $$\begin{align} v=\sqrt {\frac{\tau}{\rho}} \end{align}$$ と書かれるため、振動数は $$\begin{align} \nu = \frac{n}{2L}\sqrt {\frac{\tau}{\rho}} \end{align}$$ とも表せる。

我々の耳には、振動数が大きいほど高い音に聞こえるため、弦を張る強さ（$\tau$）を変えたり、弦の長さ（$L$）を変えたりすることで$\nu$の値を変え、音程を調節することができる。 ギターの弦は、下の方の弦ほど密度が小さく、節が多いほど高い音に対応するが、そのことを意識しながら、例えば以下のアーティストSteven Shapiroさんの動画を観てみるとより面白いんじゃないかなと思う。

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Steven Shapiro(@chaoscanine)がシェアした投稿 - 2020年 1月月28日午後4時37分PST

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■参考文献