【数学】極座標と直交座標の関係
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■直交座標と3次元極座標（球座標）の関係
\begin{equation}
\begin{split}
x=&r \sin \theta \cos \phi \\
y=&r \sin \theta \sin \phi \\
z=&r \cos \theta
\end{split}
\end{equation}
逆は
\begin{equation}
\begin{split}
r=&\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \\
\theta=&\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right) \\
\phi=&\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
\end{split}
\end{equation}
■球座標でのLaplacian
\begin{align}
\nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\pd}{\pd r} \left( r^{2} \frac{\pd}{\pd r} \right)
+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\pd}{\pd \theta} \left( \sin \theta \frac{\pd}{\pd \theta}\right)
+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\pd^{2}}{\pd \phi^{2}}
\end{align}
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