【数学】極座標と直交座標の関係

【数学】極座標と直交座標の関係



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■直交座標と3次元極座標(球座標)の関係

\begin{equation} \begin{split} x=&r \sin \theta \cos \phi \\ y=&r \sin \theta \sin \phi \\ z=&r \cos \theta \end{split} \end{equation} 逆は \begin{equation} \begin{split} r=&\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \\ \theta=&\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right) \\ \phi=&\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \end{split} \end{equation}

■球座標でのLaplacian

\begin{align} \nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\pd}{\pd r} \left( r^{2} \frac{\pd}{\pd r} \right) +\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\pd}{\pd \theta} \left( \sin \theta \frac{\pd}{\pd \theta}\right) +\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\pd^{2}}{\pd \phi^{2}} \end{align}

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